Конечная математика Примеры

${(x + 7)}^{2} > 50 x - 27$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $50 x$ из обеих частей неравенства.

${(x + 7)}^{2} - 50 x > - 27$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем ${(x + 7)}^{2}$ в виде $(x + 7) (x + 7)$ .

$(x + 7) (x + 7) - 50 x > - 27$

Этап 1.2.2

Развернем $(x + 7) (x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 7) + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Этап 1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Этап 1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Этап 1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Этап 1.2.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 50 x > - 27$

Этап 1.2.3.2

Добавим $7 x$ и $7 x$ .

$x^{2} + 14 x + 49 - 50 x > - 27$

Этап 1.3

Вычтем $50 x$ из $14 x$ .

$x^{2} - 36 x + 49 > - 27$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $27$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 36 x + 49 + 27 > 0$

Этап 2.2

Добавим $49$ и $27$ .

$x^{2} - 36 x + 76 > 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 36 x + 76 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 36$ и $c = 76$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 76)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $304$ из $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $992$ в виде $4^{2} \cdot 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $304$ из $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $992$ в виде $4^{2} \cdot 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 18 + 2 \sqrt{62}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3

Вычтем $304$ из $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4

Перепишем $992$ в виде $4^{2} \cdot 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Этап 8.3

Упростим $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Этап 8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 18 - 2 \sqrt{62}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 18 + 2 \sqrt{62}, 18 - 2 \sqrt{62}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${((0) + 7)}^{2} > 50 (0) - 27$

Этап 11.1.3

Левая часть $49$ больше правой части $- 27$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

${((5) + 7)}^{2} > 50 (5) - 27$

Этап 11.2.3

Левая часть $144$ не больше правой части $223$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 36$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $36$ в исходном неравенстве.

${((36) + 7)}^{2} > 50 (36) - 27$

Этап 11.3.3

Левая часть $1849$ больше правой части $1773$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Истина

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Ложь

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Истина

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Истина

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Ложь

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ или $x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 18 - 2 \sqrt{62}) \cup (18 + 2 \sqrt{62}, \infty)$

Этап 14