Конечная математика Примеры

$2 x^{2} - 9 x - 5 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 9$ как $1$ плюс $- 10$

$2 x^{2} + (1 - 10) x - 5 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5 = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 10 x - 5 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 10 x - 5 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 5$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 5 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $40$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 5 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$2 {(8)}^{2} - 9 \cdot 8 - 5 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $51$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{2} < x < 5$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{1}{2}, 5)$

Этап 11