Конечная математика Примеры

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} + 3 u - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 1.7

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

Этап 1.8

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 3 x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 6$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $24$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.3

Вычтем $24$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

Этап 4.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

Этап 4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.3

Вычтем $24$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

Этап 4.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

Этап 4.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ верно.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Этап 6