Конечная математика Примеры

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $t = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

Этап 4.1.6

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 2 + 10 - 15$

Этап 4.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$5 + 10 - 15$

Этап 4.2.3

Добавим $5$ и $10$ .

$15 - 15$

Этап 4.2.4

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $t + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 15)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $t - 3$ .

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 2 t$ из $- 2 t^{3} - 10 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 2 t$ из $- 2 t^{3}$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 2 t$ из $- 10 t$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 2 t$ из $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} + 2 u - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Этап 9.7

Вынесем множитель $t^{2} + 5$ из $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $t^{2} + 5$ из $- 2 t (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Этап 9.7.2

Вынесем множитель $t^{2} + 5$ из $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

Этап 9.7.3

Вынесем множитель $t^{2} + 5$ из $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

Этап 9.8

Пусть $u = t$ . Подставим $u$ вместо $t$ для всех.

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Этап 9.9

Разложим $- 2 u + u^{2} - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 9.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Этап 9.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $t$ .

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

Этап 9.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $t^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $t^{2} + 5$ к $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

Этап 11.2

Решим $t^{2} + 5 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} = - 5$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = i \sqrt{5}$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - i \sqrt{5}$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 12

Приравняем $t - 3$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $t - 3$ к $0$ .

$t - 3 = 0$

Этап 12.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$t = 3$

Этап 13

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ верно.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

Этап 15