Конечная математика Примеры

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Этап 4.1.8

Объединим $15$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ и $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $16$ на $4$ .

$- 4 + 4$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(16)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Этап 8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Этап 10

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 11

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ , а сумма — $b = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Этап 11.1.2

Запишем $15$ как $- 1$ плюс $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Этап 11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Этап 11.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Этап 11.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Этап 11.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Этап 13

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 13.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 14

Приравняем $u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $u + 4$ к $0$ .

$u + 4 = 0$

Этап 14.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u = - 4$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Этап 16

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 17

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 18.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 18.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 18.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 18.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 18.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 18.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 18.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 19

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 20

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 4$

Этап 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 20.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 20.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 20.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 20.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 20.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 20.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 20.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 20.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 20.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 21

Решением $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Этап 22