Конечная математика Примеры

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $r = - \frac{5}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.6.2

Перепишем это выражение.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Этап 4.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Этап 4.1.7.3

Сократим общий множитель.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Этап 4.1.7.4

Перепишем это выражение.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Этап 4.1.8

Умножим $10$ на $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$- 25 + 25$

Этап 4.2.2

Добавим $- 25$ и $25$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{5}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $r + \frac{5}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(10)$ на делитель $(- \frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(- 25)$ под следующим членом делимого $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(4) r + 10$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$4 r + 10$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 r + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Этап 8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $4 r^{2}$ в виде ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Этап 8.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Этап 8.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Этап 8.4

Перепишем многочлен.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 8.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 r$ и $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Этап 9

Приравняем $2 r + 5$ к $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Этап 10

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 r = - 5$

Этап 10.2

Разделим каждый член $2 r = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 r = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{5}{2}$

Этап 11