Конечная математика Примеры

$| 3 x - 1 | + 2 > 5 x$

Этап 1

Запишем $| 3 x - 1 | + 2 > 5 x$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$3 x - 1 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$3 x \geq 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 x \geq 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 x \geq 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{1}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{1}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{3}$

Этап 1.3

В части, где $3 x - 1$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$3 x - 1 + 2 > 5 x$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$3 x - 1 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$3 x < 1$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $3 x < 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $3 x < 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{1}{3}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} < \frac{1}{3}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{3}$

Этап 1.6

В части, где $3 x - 1$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (3 x - 1) + 2 > 5 x$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 3 x - 1 + 2 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x - 1) + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.8

Добавим $- 1$ и $2$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x - 1) + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- (3 x - 1) + 2 > 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x) - - 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x - - 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x + 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.2

Добавим $1$ и $2$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x + 3 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $3 x + 1 > 5 x$ , когда $x \geq \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $3 x + 1 > 5 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$3 x + 1 - 5 x > 0$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$- 2 x + 1 > 0$

Этап 2.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x > - 1$

Этап 2.1.3

Разделим каждый член $- 2 x > - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разделим каждый член $- 2 x > - 1$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < \frac{1}{2}$ и $x \geq \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \leq x < \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим $- 3 x + 3 > 5 x$ , когда $x < \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 3 x + 3 > 5 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x + 3 - 5 x > 0$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $5 x$ из $- 3 x$ .

$- 8 x + 3 > 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- 8 x > - 3$

Этап 3.1.3

Разделим каждый член $- 8 x > - 3$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим каждый член $- 8 x > - 3$ на $- 8$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 8 x}{- 8} < \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} < \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.1.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 8}$

Этап 3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{3}{8}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{3}{8}$ и $x < \frac{1}{3}$ .

$x < \frac{1}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x < \frac{1}{2}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \frac{1}{2})$

Этап 6