Конечная математика Примеры

$| 2 x - 4 | < | x - 1 |$

Этап 1

Заменим $<$ на $=$ в $| 2 x - 4 | < | x - 1 |$ .

$| 2 x - 4 | = | x - 1 |$

Этап 2

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

$- (2 x - 4) = x - 1$

$- (2 x - 4) = - (x - 1)$

Этап 3

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Этап 4

Решим $2 x - 4 = x - 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 4 - x = - 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 4 = - 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = - 1 + 4$

Этап 4.2.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$x = 3$

Этап 5

Решим $2 x - 4 = - (x - 1)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $- (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 4 = - x - - 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x - 4 = - x + 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 4 + x = 1$

Этап 5.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 4 = 1$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1 + 4$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$3 x = 5$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = 3, \frac{5}{3}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| 2 (0) - 4 | < | (0) - 1 |$

Этап 8.1.3

Левая часть $4$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$| 2 (2) - 4 | < | (2) - 1 |$

Этап 8.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$| 2 (6) - 4 | < | (6) - 1 |$

Этап 8.3.3

Левая часть $8$ не меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{5}{3}$ Ложь

$\frac{5}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < \frac{5}{3}$ Ложь

$\frac{5}{3} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{5}{3}, 3)$

Этап 11