Конечная математика Примеры

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Этап 1

Запишем $| x^{2} - 5 | < 4 x$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 5$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Этап 1.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Этап 1.2.4

Запишем $| x | \geq \sqrt{5}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.2.5

Найдем пересечение $x \geq \sqrt{5}$ и $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Этап 1.2.6

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{5}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Разделим каждый член $- x \geq \sqrt{5}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Этап 1.2.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{5}$ в виде $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Этап 1.2.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - \sqrt{5}$ или $x \geq \sqrt{5}$

Этап 1.3

В части, где $x^{2} - 5$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x^{2} - 5 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} < 5$

Этап 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Этап 1.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | < \sqrt{5}$

Этап 1.5.4

Запишем $| x | < \sqrt{5}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.5.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x < \sqrt{5}$

Этап 1.5.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.5.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Этап 1.5.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.5.5

Найдем пересечение $x < \sqrt{5}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Этап 1.5.6

Решим $- x < \sqrt{5}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Разделим каждый член $- x < \sqrt{5}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Разделим каждый член $- x < \sqrt{5}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.5.6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.5.6.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 1.5.6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Этап 1.5.6.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{5}$ в виде $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Этап 1.5.6.2

Найдем пересечение $x > - \sqrt{5}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Этап 1.5.7

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Этап 1.6

В части, где $x^{2} - 5$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Этап 2

Решим $x^{2} - 5 < 4 x$ , когда $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $x^{2} - 5 < 4 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Этап 2.1.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Этап 2.1.3

Разложим $x^{2} - 5 - 4 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 2.1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 2.1.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.1.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.1.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.1.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 2.1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Этап 2.1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.1.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Этап 2.1.9.1.3

Левая часть $11$ не меньше правой части $- 16$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Этап 2.1.9.2.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.9.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.1.9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Этап 2.1.9.3.3

Левая часть $59$ не меньше правой части $32$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 2.1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < 5$

Этап 2.2

Найдем пересечение $- 1 < x < 5$ и $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Этап 3

Решим $- x^{2} + 5 < 4 x$ , когда $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x^{2} + 5 < 4 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Этап 3.1.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Этап 3.1.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.1.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.1.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Этап 3.1.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 3.1.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Этап 3.1.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Этап 3.1.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.1.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.1.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.1.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.1.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.1.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - 5$

Этап 3.1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Этап 3.1.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 3.1.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Этап 3.1.9.1.3

Левая часть $- 59$ меньше правой части $- 32$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.1.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Этап 3.1.9.2.3

Левая часть $5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.9.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.1.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Этап 3.1.9.3.3

Левая часть $- 11$ меньше правой части $16$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 3.1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $x > 1$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < - 5 or x > 1$ и $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$1 < x < 5$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(1, 5)$

Этап 6