Конечная математика Примеры

$| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$

Этап 1

Запишем $| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{6 y + 4}{2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $6 y + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} \geq 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} \geq 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} \geq 0$

Этап 1.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} \geq 0$

Этап 1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} \geq 0$

Этап 1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y + 2}{1} \geq 0$

Этап 1.2.1.4.4

Разделим $3 y + 2$ на $1$ .

$3 y + 2 \geq 0$

Этап 1.2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$3 y \geq - 2$

Этап 1.2.2.2

Разделим каждый член $3 y \geq - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 y \geq - 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Этап 1.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Этап 1.2.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \geq \frac{- 2}{3}$

Этап 1.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y \geq - \frac{2}{3}$

Этап 1.3

В части, где $\frac{6 y + 4}{2}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{6 y + 4}{2} < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $6 y + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} < 0$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} < 0$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} < 0$

Этап 1.5.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} < 0$

Этап 1.5.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} < 0$

Этап 1.5.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y + 2}{1} < 0$

Этап 1.5.1.4.4

Разделим $3 y + 2$ на $1$ .

$3 y + 2 < 0$

Этап 1.5.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$3 y < - 2$

Этап 1.5.2.2

Разделим каждый член $3 y < - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 y < - 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Этап 1.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Этап 1.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y < \frac{- 2}{3}$

Этап 1.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y < - \frac{2}{3}$

Этап 1.6

В части, где $\frac{6 y + 4}{2}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $6 y + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y) + 2 (2)$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.4.2

Сократим общий множитель.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.4.3

Перепишем это выражение.

${\begin{cases} \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.1.4.4

Разделим $3 y + 2$ на $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 2 + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Добавим $2$ и $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель $6 y + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y) + 2 (2)$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.1.4.4

Разделим $3 y + 2$ на $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y + 2) + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y) - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.9.2

Добавим $- 2$ и $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y + 6 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $3 y + 10 > 2$ , когда $y \geq - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $3 y + 10 > 2$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$3 y > 2 - 10$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $10$ из $2$ .

$3 y > - 8$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $3 y > - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $3 y > - 8$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y > \frac{- 8}{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y > - \frac{8}{3}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $y > - \frac{8}{3}$ и $y \geq - \frac{2}{3}$ .

$y \geq - \frac{2}{3}$

Этап 3

Решим $- 3 y + 6 > 2$ , когда $y < - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 3 y + 6 > 2$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- 3 y > 2 - 6$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 3 y > - 4$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 3 y > - 4$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 y > - 4$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y < \frac{- 4}{- 3}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y < \frac{4}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $y < \frac{4}{3}$ и $y < - \frac{2}{3}$ .

$y < - \frac{2}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \infty)$

Этап 6