Конечная математика Примеры

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.3

Упростим.

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ в виде $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Этап 2.2.1.4.5

Упростим.

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(x + 2) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Этап 2.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Этап 2.2.1.6.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Этап 2.2.1.6.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Этап 2.2.1.6.2

Добавим $- 3 x$ и $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 4.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 3 \geq 0$

Этап 4.4

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[3, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $3.74165738$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Этап 6.3.3

Левая часть $4.89897948$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 3$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Этап 9