Конечная математика Примеры

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 y, 3, 1, 1$

Этап 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.7

НОК $4, 3, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 2.8

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 2.9

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 2.11

НОК $4 y, 3, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $12$ и переменной части.

$12 y$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ умножим на $12 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ на $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.8

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Перенесем $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.8.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 1$ на $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $12$ на $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Этап 4

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $24 y$ из обеих частей неравенства.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $24 y$ из $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Этап 4.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = - 12$ , $b = - 28$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 28$ в степень $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $48$ на $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $784$ и $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $928$ в виде $4^{2} \cdot 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Этап 4.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Этап 4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 28$ в степень $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $48$ на $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $784$ и $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $928$ в виде $4^{2} \cdot 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Этап 4.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Этап 4.6.5

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Этап 4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Возведем $- 28$ в степень $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.2.2

Умножим $48$ на $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.3

Добавим $784$ и $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.4

Перепишем $928$ в виде $4^{2} \cdot 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Этап 4.7.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Этап 4.7.3

Упростим $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Этап 4.7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Этап 4.7.5

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Этап 4.8

Объединим решения.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{4 y}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 y = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $4 y = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 y = 0$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$y = 0$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 5$

Этап 7.1.2

Заменим $y$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 0.38\overline{3}$ не меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 1$

Этап 7.2.2

Заменим $y$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 0.58\overline{3}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0.05$

Этап 7.3.2

Заменим $y$ на $0.05$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Этап 7.3.3

Левая часть $4.\overline{6}$ не меньше правой части $2.05$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 3$

Этап 7.4.2

Заменим $y$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Этап 7.4.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Ложь

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Истина

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Ложь

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Истина

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Ложь

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Истина

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Ложь

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ или $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Этап 10