Конечная математика Примеры

$3 | x - 2 | + 12 > 0$

Этап 1

Запишем $3 | x - 2 | + 12 > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 2 \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 2$

Этап 1.3

В части, где $x - 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$3 (x - 2) + 12 > 0$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 2 < 0$

Этап 1.5

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x < 2$

Этап 1.6

В части, где $x - 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$3 (- (x - 2)) + 12 > 0$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 3 (x - 2) + 12 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- (x - 2)) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $3 (x - 2) + 12 > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 x + 3 \cdot - 2 + 12 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- (x - 2)) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

${\begin{cases} 3 x - 6 + 12 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- (x - 2)) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Добавим $- 6$ и $12$ .

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- (x - 2)) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $3 (- (x - 2)) + 12 > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- x - - 2) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- x + 2) + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ 3 (- x) + 3 \cdot 2 + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ - 3 x + 3 \cdot 2 + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ - 3 x + 6 + 12 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Добавим $6$ и $12$ .

${\begin{cases} 3 x + 6 > 0 & x \geq 2 \\ - 3 x + 18 > 0 & x < 2 \end{cases}$

Этап 2

Решим $3 x + 6 > 0$ , когда $x \geq 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $3 x + 6 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$3 x > - 6$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $3 x > - 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $3 x > - 6$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{- 6}{3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} > \frac{- 6}{3}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 6}{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Разделим $- 6$ на $3$ .

$x > - 2$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > - 2$ и $x \geq 2$ .

$x \geq 2$

Этап 3

Решим $- 3 x + 18 > 0$ , когда $x < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 3 x + 18 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $18$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x > - 18$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 3 x > - 18$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 x > - 18$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} < \frac{- 18}{- 3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} < \frac{- 18}{- 3}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 18}{- 3}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 18$ на $- 3$ .

$x < 6$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < 6$ и $x < 2$ .

$x < 2$

Этап 4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \infty)$

Этап 6