Конечная математика Примеры

$\frac{x - 3}{x - 18} > 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 3}{x - 18} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 \cdot \frac{x - 18}{x - 18} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} + \frac{- 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 18}{x - 18} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 3$ на $- 18$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 54}{x - 18} > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 54}{x - 18} > 0$

Этап 2.4.4

Добавим $- 3$ и $54$ .

$\frac{- 2 x + 51}{x - 18} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 51}{x - 18} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $51$ в виде $- 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 51)}{x - 18} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (2 x - 51)$ в виде $- 1 (2 x - 51)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x - 51}{x - 18} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x - 51 = 0$

$x - 18 = 0$

Этап 4

Добавим $51$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 51$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = 51$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = 51$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{51}{2}$

Этап 6

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{51}{2}$

$x = 18$

Этап 8

Объединим решения.

$x = \frac{51}{2}, 18$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{2 x - 51}{x - 18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 51}{x - 18}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 18 = 0$

Этап 9.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 18$

$18 < x < \frac{51}{2}$

$x > \frac{51}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 18$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 18$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 18} > 3$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $18 < x < \frac{51}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $18 < x < \frac{51}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 22$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $22$ в исходном неравенстве.

$\frac{(22) - 3}{(22) - 18} > 3$

Этап 11.2.3

Левая часть $4.75$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{51}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{51}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 28$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $28$ в исходном неравенстве.

$\frac{(28) - 3}{(28) - 18} > 3$

Этап 11.3.3

Левая часть $2.5$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 18$ Ложь

$18 < x < \frac{51}{2}$ Истина

$x > \frac{51}{2}$ Ложь

$x < 18$ Ложь

$18 < x < \frac{51}{2}$ Истина

$x > \frac{51}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$18 < x < \frac{51}{2}$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(18, \frac{51}{2})$

Этап 14