Конечная математика Примеры

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $20$ из обеих частей неравенства.

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

Этап 1.2

Вычтем $20$ из $0.5$ .

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = - 5$ , $b = 22$ и $c = - 19.5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $20$ на $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.1.3

Вычтем $390$ из $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $20$ на $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Этап 6.1.3

Вычтем $390$ из $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $22$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $20$ на $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Этап 7.1.3

Вычтем $390$ из $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Этап 8

Объединим решения.

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

Этап 10.1.3

Левая часть $0.5$ меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

Этап 10.2.3

Левая часть $24.5$ не меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 47.5$ меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Истина

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Ложь

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Истина

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Истина

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Ложь

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ или $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

Этап 13