Конечная математика Примеры

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + 5 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 5 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2}) + x (21 x)$ .

$x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5$ .

$x (4 x^{2} + 21 x + 5) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 x$ .

$x (4 x^{2} + 21 (x) + 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Запишем $21$ как $1$ плюс $20$

$x (4 x^{2} + (1 + 20) x + 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5) = 0$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x (4 x^{2} + x + 20 x + 5) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((4 x^{2} + x) + 20 x + 5) = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$x ((4 x + 1) (x + 5)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (4 x + 1) (x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 x + 1) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{4}, - 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4} < x < 0$

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 8)}^{3} + 21 {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 744$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 3)}^{3} + 21 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3) > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $66$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{4} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.12$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $- 0.12$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 0.12)}^{3} + 21 {(- 0.12)}^{2} + 5 (- 0.12) > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 0.304512$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$4 {(2)}^{3} + 21 {(2)}^{2} + 5 (2) > 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $126$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Истина

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Истина

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ или $x > 0$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, - \frac{1}{4}) \cup (0, \infty)$

Этап 12