Конечная математика Примеры

$\log (\sqrt[7]{x}) - \log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (\sqrt[7]{x})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[7]{x} \leq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, raise both sides of the inequality to the power of $7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} \leq 0^{7}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} \leq 0^{7}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} \leq 0^{7}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \leq 0^{7}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$x \leq 0^{7}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x \leq 0$

Этап 3

Зададим аргумент в $\log_{7} ({(x)}^{5})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x)}^{5} \leq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \leq \sqrt[5]{0}$

Этап 4.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq \sqrt[5]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x \leq \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq 0$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log (\log_{7} ({(x)}^{5}))$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\log_{7} ({(x)}^{5}) \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$\log_{7} (x^{5}) \leq 0$

Этап 6.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 1$

Этап 6.3

Найдем область определения $\log_{7} ({(x)}^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Зададим аргумент в $\log_{7} ({(x)}^{5})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

${(x)}^{5} > 0$

Этап 6.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} > \sqrt[5]{0}$

Этап 6.3.2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x > \sqrt[5]{0}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x > \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 6.3.2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x > 0$

Этап 6.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 6.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 6.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{7} ({(- 2)}^{5}) \leq 0$

Этап 6.5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 6.5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 6.5.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\log_{7} ({(0.5)}^{5}) \leq 0$

Этап 6.5.2.3

Левая часть $- 1.78103593$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log_{7} ({(4)}^{5}) \leq 0$

Этап 6.5.3.3

Левая часть $3.56207187$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 6.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq 1$

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Этап 8