Конечная математика Примеры

$\sqrt{2 x + 169} - \sqrt{x + 1} = 12$

Этап 1

Добавим $\sqrt{x + 1}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 169} = 12 + \sqrt{x + 1}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 169}}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 169}$ в виде ${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 169)}^{1} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x + 169 = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ в виде $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ .

$2 x + 169 = (12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 169 = 12 (12 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $12$ на $12$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $12$ влево от $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $144$ и $1$ .

$2 x + 169 = 145 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $12 \sqrt{x + 1}$ и $12 \sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 145 + 24 \sqrt{x + 1} + x$

Этап 4

Решим относительно $24 \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$ .

$145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $24 \sqrt{x + 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $145$ из обеих частей уравнения.

$24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169 - 145$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$24 \sqrt{x + 1} = 2 x + 169 - 145 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 169 - 145$

Этап 4.2.4

Вычтем $145$ из $169$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 24$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(24 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$24^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $24$ в степень $2$ .

$576 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$576 {(x + 1)}^{1} = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$576 (x + 1) = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x + 576 \cdot 1 = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $576$ на $1$ .

$576 x + 576 = {(x + 24)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(x + 24)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(x + 24)}^{2}$ в виде $(x + 24) (x + 24)$ .

$576 x + 576 = (x + 24) (x + 24)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(x + 24) (x + 24)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x + 576 = x (x + 24) + 24 (x + 24)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 (x + 24)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Этап 6.3.1.3.1.2

Перенесем $24$ влево от $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 \cdot x + 24 x + 24 \cdot 24$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $24$ на $24$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 x + 24 x + 576$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 48 x + 576$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 48 x + 576 = 576 x + 576$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $576 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 48 x + 576 - 576 x = 576$

Этап 7.2.2

Вычтем $576 x$ из $48 x$ .

$x^{2} - 528 x + 576 = 576$

Этап 7.3

Вычтем $576$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 528 x + 576 - 576 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 528 x + 576 - 576$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $576$ из $576$ .

$x^{2} - 528 x + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $x^{2} - 528 x$ и $0$ .

$x^{2} - 528 x = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 528 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 528 x = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 528 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 528 = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 528$ .

$x (x - 528) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 528 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7.8

Приравняем $x - 528$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 528$ к $0$ .

$x - 528 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $528$ к обеим частям уравнения.

$x = 528$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 528) = 0$ верно.

$x = 0, 528$