Конечная математика Примеры

$\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 25$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}^{2} = 25^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 25^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{1} = 25^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $25$ в степень $2$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 625$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $625$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 625 = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2 y$ и $c = y^{2} - 625$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Пусть $u = 1 \cdot (y^{2} - 625)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (y^{2} - 625)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (y^{2} - 625)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (1 \cdot (y^{2} - 625)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1.1

Умножим $y^{2} - 625$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.2

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (0 + 625)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.3

Добавим $0$ и $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 \cdot 625}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6

Умножим $4$ на $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.7

Перепишем $2500$ в виде $50^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{50^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{- 2 y \pm 50}{2}$ .

$x = - y \pm 25$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$