Конечная математика Примеры

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ в виде $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.2

Упростим $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.7

Упростим $2 \log_{b} (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Этап 2.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \cdot 4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $3 \cdot 4$ на $1$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Этап 2.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = 12$