Конечная математика Примеры

$\log_{b} (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (4) + \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{b} (4)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2}{3} \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$

Этап 2

Каждый член в $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ на $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 (3)) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (4) \cdot 3 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\log_{b} (4)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2)) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 2 \log_{b} (27) \cdot 2 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $6 \log_{b} (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $3 \log_{b} (4)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4^{3}) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 4.1.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 4.1.1.3

Упростим $4 \log_{b} (27)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (27^{4}) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 4.1.1.4

Возведем $27$ в степень $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - 6 \log_{b} (6)$

Этап 4.1.1.5

Упростим $- 6 \log_{b} (6)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (6^{6})$

Этап 4.1.1.6

Возведем $6$ в степень $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (46656)$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64 \cdot 531441) - \log_{b} (46656)$

Этап 4.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{46656})$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $64$ и $46656$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $64 \cdot 531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (531441)}{46656})$

Этап 4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $64$ из $46656$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Этап 4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{531441}{729})$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $531441$ и $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $729$ из $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729})$

Этап 4.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $729$ из $729$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 (1)})$

Этап 4.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 \cdot 1})$

Этап 4.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729}{1})$

Этап 4.1.5.2.4

Разделим $729$ на $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{6} = 729$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{729}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $729$ в виде $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$