Конечная математика Примеры

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ в виде ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

Этап 3.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 12 u - 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $12 u$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $- 35$ в виде $- 1 (35)$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (- 12 u)$ .

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ .

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим $u^{2} - 12 u + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $- 12$ .

$- 7, - 5$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $u - 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u - 7$ к $0$ .

$u - 7 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$u = 7$

Этап 3.6

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 7) (u - 5) = 0$ верно.

$u = 7, 5$

Этап 3.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Этап 3.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 7$

Этап 3.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Этап 3.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{7}$

Этап 3.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{7}$

Этап 3.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 3.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Этап 3.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 5$

Этап 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 3.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 3.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 3.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 3.13

Решением $- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ является $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ истинным.

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$