Конечная математика Примеры

$\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, \sqrt{x - 4}, 1$

Этап 1.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\sqrt{x - 4}$

Этап 1.2

Каждый член в $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ умножим на $\sqrt{x - 4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим каждый член $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ на $\sqrt{x - 4}$ .

$\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $\sqrt{x - 4}$ на $\sqrt{x - 4}$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{\sqrt{x - 4}}$ в числитель.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Этап 1.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

${\sqrt{x - 4}}^{2} + \frac{- 2}{\sqrt{x - 4}} \sqrt{x - 4} = 1 \sqrt{x - 4}$

Этап 1.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = 1 \sqrt{x - 4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\sqrt{x - 4}$ на $1$ .

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 = \sqrt{x - 4}$

Этап 1.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $\sqrt{x - 4}$ из обеих частей уравнения.

${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4} = 0$

Этап 1.3.2

Разложим ${\sqrt{x - 4}}^{2} - 2 - \sqrt{x - 4}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$

Этап 1.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Этап 1.3.4

Приравняем $\sqrt{x - 4} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $\sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Приравняем $\sqrt{x - 4} - 2$ к $0$ .

$\sqrt{x - 4} - 2 = 0$

Этап 1.3.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x - 4} = 2$

Этап 1.3.5

Приравняем $\sqrt{x - 4} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $\sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Приравняем $\sqrt{x - 4} + 1$ к $0$ .

$\sqrt{x - 4} + 1 = 0$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x - 4} = - 1$

Этап 1.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sqrt{x - 4} - 2) (\sqrt{x - 4} + 1) = 0$ верно.

$\sqrt{x - 4} = 2, - 1$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $\sqrt{x - 4} = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = 2^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 4)}^{1} = 2^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$x - 4 = 2^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x - 4 = 4$

Этап 2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4 + 4$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ и $4$ .

$x = 8$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $\sqrt{x - 4} = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 4}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 4)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим.

$x - 4 = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x - 4 = 1$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + 4$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$x = 5$

Этап 4

Перечислим все решения.

$x = 8, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x - 4}} = 1$ истинным.

$x = 8$