Конечная математика Примеры

$\log_{5} (x + 20) + \log_{5} (x) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 20) x) = 3$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + 20 x) = 3$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 20 x) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (x^{2} + 20 x) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 20 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 20 x = 5^{3}$ .

$x^{2} + 20 x = 5^{3}$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x^{2} + 20 x = 125$

Этап 3.3

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 20 x - 125 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} + 20 x - 125$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 125$ , а сумма — $20$ .

$- 5, 25$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 25) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 25 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.7

Приравняем $x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 25$ к $0$ .

$x + 25 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x = - 25$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 25) = 0$ верно.

$x = 5, - 25$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x + 20) + \log_{5} (x) = 3$ истинным.

$x = 5$