Конечная математика Примеры

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Этап 3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Этап 6

Умножим $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ на $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Этап 7

Изменим порядок множителей в $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ .

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Этап 8

Перепишем $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Этап 9

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Этап 10

Упростим $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Этап 10.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Этап 10.3

Развернем $(x + 2) (9 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Этап 10.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Этап 10.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4.1.3

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4.1.4

Умножим $9$ на $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Этап 10.4.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Этап 10.4.2

Добавим $- 4 x$ и $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Этап 10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.1.2

Объединим $\frac{9}{4}$ и $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.2.2

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.2.3

Сократим общий множитель.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.2.4

Перепишем это выражение.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.4

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Этап 10.6.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Этап 10.6.5.2

Сократим общий множитель.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Этап 10.6.5.3

Перепишем это выражение.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Этап 11

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $\frac{9 x^{2}}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Этап 11.2

Вычтем $\frac{7 x}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.4

Чтобы записать $3 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.5

Объединим $3 x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.7

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Запишем $x$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.7.2

Умножим $\frac{x}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.7.3

Умножим $\frac{x}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Этап 11.7.4

Умножим $\frac{7 x}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Этап 11.7.5

Умножим $\frac{7 x}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Этап 11.7.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Этап 11.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Этап 11.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Этап 11.9.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Этап 11.9.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Этап 11.10

Вычтем $14 x$ из $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Этап 11.11

Вычтем $9 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Этап 11.12

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.12.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Этап 11.12.2

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Этап 11.12.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Этап 12

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.1.3.2

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Этап 13.1.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Этап 14

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Этап 14.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Этап 14.2.1.2

Запишем $- 10$ как $- 4$ плюс $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Этап 14.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Этап 14.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Этап 14.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Этап 14.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 14.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 14.4

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 14.4.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 14.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 14.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 14.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 14.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 14.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 14.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4}{3}, 2$

Десятичная форма:

$x = 1.\overline{3}, 2$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$