Конечная математика Примеры

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 7$ , $b = - 14$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 28$ на $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.3

Добавим $196$ и $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.4

Перепишем $280$ в виде $2^{2} \cdot 70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $280$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Этап 7

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Этап 8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

Этап 10.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Этап 10.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

Этап 10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.19649053$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.19649053 + 2 π$

Этап 10.6.2

Вычтем $0.19649053$ из $2 π$ .

$6.08669476$

Этап 10.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.08669476$

Этап 10.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Перечислим все решения.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , для любого целого $n$