Конечная математика Примеры

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Этап 1

Перепишем $7^{- x}$ в виде степенного выражения.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $7^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Этап 3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $u + \frac{1}{u} = 50$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{1}{u} = 50$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $50 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Этап 4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 50$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.3

Вычтем $4$ из $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.4

Перепишем $2496$ в виде $8^{2} \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Этап 4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Этап 5

Подставим $25 + 4 \sqrt{39}$ вместо $u$ в $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Этап 6

Решим $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Этап 6.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Этап 6.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 7

Подставим $25 - 4 \sqrt{39}$ вместо $u$ в $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Этап 8

Решим $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Этап 8.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Этап 8.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$