Конечная математика Примеры

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Этап 2.2

Упростим $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Этап 2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Этап 2.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Этап 2.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Этап 2.3

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Этап 2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $7$ на $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

Этап 2.5.2

Упростим $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Этап 2.5.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Этап 2.5.2.3

Вычтем $14$ из $- 1$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Этап 2.5.3

Разложим $x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 2.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 2.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5$

Этап 2.6

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Этап 2.7

Упростим $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Этап 2.7.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Этап 2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Этап 2.7.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Этап 2.8

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Этап 2.9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

Этап 2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $- 7$ на $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

Этап 2.10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2

Упростим $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.2.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Этап 2.10.1.2.3

Добавим $- 1$ и $14$ .

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

Этап 2.10.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.10.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 13$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $13$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.3

Вычтем $52$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.10.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.10.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.10.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$