Конечная математика Примеры

$\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 x - 6}$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 (x) - 6}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 x + 3 \cdot - 2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 3, 3 (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 3, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x - 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 2$

Этап 2.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 (x - 2)}$ умножим на $3 (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 2} = \frac{x + 1}{3} - \frac{1}{3 (x - 2)}$ на $3 (x - 2)$ .

$\frac{1}{x - 2} (3 (x - 2)) = \frac{x + 1}{3} (3 (x - 2)) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x - 2} (x - 2) = \frac{x + 1}{3} (3 (x - 2)) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{3}{x - 2} (x - 2) = \frac{x + 1}{3} (3 (x - 2)) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x - 2} (x - 2) = \frac{x + 1}{3} (3 (x - 2)) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 = \frac{x + 1}{3} (3 (x - 2)) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 = 3 \frac{x + 1}{3} (x - 2) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 = 3 \frac{x + 1}{3} (x - 2) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 = (x + 1) (x - 2) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.3

Развернем $(x + 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x (x - 2) + 1 (x - 2) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 = x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$3 = x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$3 = x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.4.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 = x^{2} - 2 x + x - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.4.2

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$3 = x^{2} - x - 2 - \frac{1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $3 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 (x - 2)}$ в числитель.

$3 = x^{2} - x - 2 + \frac{- 1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$3 = x^{2} - x - 2 + \frac{- 1}{3 (x - 2)} (3 (x - 2))$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$3 = x^{2} - x - 2 - 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$3 = x^{2} - x - 3$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - x - 3 = 3$ .

$x^{2} - x - 3 = 3$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 3 - 3 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$