Конечная математика Примеры

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, 1, (x + 1) (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ умножим на $(x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ на $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x + 1}$ в числитель.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x + 1 - (x - 1) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 - x - - 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 - x + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 + 1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $(x - 1) (x + 1)$ на $1$ .

$2 = (x - 1) (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x (x + 1) - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$2 = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$2 = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$2 = x \cdot x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 = x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $(x - 1) (x + 1)$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 = x^{2} - 1 + 2$

Этап 3.3.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$2 = x^{2} + 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 1 = 2$ .

$x^{2} + 1 = 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = 2 - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$x^{2} = 1$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$ истинным.

$Нет решения$