Конечная математика Примеры

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 2

Перепишем $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ в виде $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ .

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ в виде $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ .

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 4

Развернем $\ln (27^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 5

Развернем $\ln (3^{- 2 x})$ , вынося $- 2 x$ из логарифма.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 7

Вычтем $2 x \ln (27)$ из $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 9

Избавимся от скобок.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Этап 10

Развернем $\ln (81^{x^{2} - 2})$ , вынося $x^{2} - 2$ из логарифма.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (27)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.2.1.1.2

Возведем $27$ в степень $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.2.1.1.3

Упростим $- 2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.2.1.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.2.1.2

Изменим порядок множителей в $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Упростим $- 2 \ln (81)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

Этап 11.3.1.2

Возведем $81$ в степень $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

Этап 11.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

Этап 11.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.6

Подставим значения $a = - \ln (81)$ , $b = - \ln (729) - \ln (9)$ и $c = \ln (6561)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.2

Умножим $- - \ln (729)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.2.2

Умножим $\ln (729)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.3

Умножим $- - \ln (9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.3.2

Умножим $\ln (9)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.4

Перепишем ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ в виде $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.5

Развернем $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.2

Умножим $\ln (729)$ на $\ln (729)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.6.1.2.1

Перенесем $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.2.2

Умножим $\ln (729)$ на $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.4

Умножим $\ln^{2} (729)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.7

Умножим $\ln (729)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.10

Умножим $\ln (9)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.12

Умножим $\ln (9)$ на $\ln (9)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.6.1.12.1

Перенесем $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.12.2

Умножим $\ln (9)$ на $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.1.14

Умножим $\ln^{2} (9)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.2

Добавим $\ln (729) \ln (9)$ и $\ln (9) \ln (729)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.6.2.1

Изменим порядок $\ln (729)$ и $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.6.2.2

Добавим $\ln (9) \ln (729)$ и $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.1.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Этап 11.7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

Этап 11.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Этап 11.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

Десятичная форма:

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$