Конечная математика Примеры

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим выражение $\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{6}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $r^{6}$ и $r^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $r^{3}$ из $r^{6}$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{3}}{1} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.2.2.4

Разделим $r^{3}$ на $1$ .

$r^{3} = \frac{729}{- 27}$

Этап 1.3

Разделим $729$ на $- 27$ .

$r^{3} = - 27$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$r^{3} + 27 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$r^{3} + 3^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = r$ и $b = 3$ .

$(r + 3) (r^{2} - r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 3^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r + 3 = 0$

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $r + 3$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $r + 3$ к $0$ .

$r + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$r = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $r^{2} - 3 r + 9$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $r^{2} - 3 r + 9$ к $0$ .

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $r^{2} - 3 r + 9 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$ верно.

$r = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Переменная $a$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$