Конечная математика Примеры

$\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = 0$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2} = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)} = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))} = 0$

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{a}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.4

Чтобы записать $\frac{b}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{a}{x}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{b}{x + 2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{(x + 2) x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.5.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) x$ .

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a (x + 2) + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x + a \cdot 2 + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.7.2

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.9

Чтобы записать $\frac{c}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 2) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.10.2

Умножим $\frac{c}{x - 1}$ на $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{(x - 1) (x (x + 2))} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.10.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x (x + 2))$ .

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

Этап 2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Развернем $(a x + 2 a + b x) (x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{a x \cdot x + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $a x$ .

$\frac{a x^{2} - 1 \cdot (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.3

Перепишем $- 1 (a x)$ в виде $- (a x)$ .

$\frac{a x^{2} - (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b (x \cdot x) + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.6

Перенесем $- 1$ влево от $b x$ .

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - 1 \cdot (b x) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.2.7

Перепишем $- 1 (b x)$ в виде $- (b x)$ .

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.3

Добавим $- a x$ и $2 a x$ .

$\frac{a x^{2} + 1 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x \cdot x + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + 2 \cdot x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + c (2 x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3}) - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.11.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.11.2

Умножим $13$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 2.13.11.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $b x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2}$

Этап 4.1.2

Добавим $b x$ к обеим частям уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x$

Этап 4.1.3

Вычтем $c x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2}$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 c x$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x$

Этап 4.1.5

Добавим $3 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3}$

Этап 4.1.6

Добавим $13 x$ к обеим частям уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x$

Этап 4.1.7

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$a x^{2} + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.2

Вынесем множитель $a$ из $a x^{2} + a x - 2 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a x^{2}$ .

$a (x^{2}) + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $a$ из $a x$ .

$a (x^{2}) + a (x) - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $a$ из $- 2 a$ .

$a (x^{2}) + a (x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $a$ из $a (x^{2}) + a (x)$ .

$a (x^{2} + x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $a$ из $a (x^{2} + x) + a \cdot - 2$ .

$a (x^{2} + x - 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

$- 1, 2$

Этап 4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$a ((x - 1) (x + 2)) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

Этап 4.4

Разделим каждый член $a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ на $(x - 1) (x + 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ на $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{a (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a (x + 2)}{x + 2} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 4.4.2.2.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 4.4.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)}$