Конечная математика Примеры

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Этап 1

Упростим $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Этап 1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Этап 2

Вычтем $| x^{3} + 1 |$ из обеих частей уравнения.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Этап 3

Каждый член в $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ на $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Этап 3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = | x^{3} + 1 |$ и $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Этап 6

Приравняем $| x^{3} + 1 | - 2$ к $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Этап 7

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Этап 8

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{3} + 1 = 2$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = 2 - 1$

Этап 9.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$x^{3} = 1$

Этап 9.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 1 = 0$

Этап 9.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 9.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 9.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Этап 9.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 9.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 9.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.7

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 9.7.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.9

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{3} + 1 = - 2$

Этап 9.10

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 2 - 1$

Этап 9.10.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Этап 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Этап 9.12

Упростим $\sqrt[3]{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Перепишем $- 3$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Этап 9.12.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Этап 9.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Этап 9.12.3

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{3}$ в виде $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Этап 9.13

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Этап 10