Конечная математика Примеры

$\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 3$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x - 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 3$ умножим на $(x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 3$ на $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{4}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (x + 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 1 + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x + 4 + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$4 x + 4 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 x + 4 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$4 x + 4 + 3 (x - 1) = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 + 3 x + 3 \cdot - 1 = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 x + 4 + 3 x - 3 = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $4 x$ и $3 x$ .

$7 x + 4 - 3 = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$7 x + 1 = 3 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 3 (x (x + 1) - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$7 x + 1 = 3 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$7 x + 1 = 3 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$7 x + 1 = 3 (x \cdot x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 x + 1 = 3 (x^{2} - 1)$

Этап 2.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$7 x + 1 = 3 x^{2} - 3$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$7 x + 1 - 3 x^{2} = - 3$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$7 x + 1 - 3 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$7 x - 3 x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 7$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $12$ на $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $49$ и $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 3}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 6}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{6}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{6}, \frac{7 - \sqrt{97}}{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{6}, \frac{7 - \sqrt{97}}{6}$

Десятичная форма:

$x = 2.80814296 \dots, - 0.47480963 \dots$