Конечная математика Примеры

$\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, x + 5, (x + 4) (x - 5)$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x + 4, x + 5, x + 4, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x + 5) (x - 5)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ умножим на $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x + 4} + \frac{2}{x + 5} = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)}$ на $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x + 4} ((x + 4) ((x + 5) (x - 5))) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 ((x + 5) (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (x - 5) + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$4 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$4 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$4 (x \cdot x + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 (x^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.4.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$4 (x^{2} - 25) + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 4 \cdot - 25 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4$ на $- 25$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 4) (x + 5) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 100 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) ((x + 4) (x - 5))) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} - 100 + 2 ((x + 4) (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.8

Развернем $(x + 4) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x (x - 5) + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5)) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 100 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.9.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.9.1.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - 5 x + 4 x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.9.2

Добавим $- 5 x$ и $4 x$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 (x^{2} - x - 20) = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 20 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.1.11.2

Умножим $2$ на $- 20$ .

$4 x^{2} - 100 + 2 x^{2} - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 100 - 2 x - 40 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $40$ из $- 100$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x + 5) (x - 5))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $(x + 4) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 5)$ из $(x + 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = \frac{18}{(x + 4) (x - 5)} ((x + 4) (x - 5) (x + 5))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 (x + 5)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 18 \cdot 5$

Этап 2.3.3

Умножим $18$ на $5$ .

$6 x^{2} - 2 x - 140 = 18 x + 90$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} - 2 x - 140 - 18 x = 90$

Этап 3.1.2

Вычтем $18 x$ из $- 2 x$ .

$6 x^{2} - 20 x - 140 = 90$

Этап 3.2

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} - 20 x - 140 - 90 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $90$ из $- 140$ .

$6 x^{2} - 20 x - 230 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} - 20 x - 230$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 230 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 20 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 230 = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $- 230$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 115) = 0$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115) = 0$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 115)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 (3 x^{2} - 10 x - 115) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 115)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 10 x - 115$ на $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = \frac{0}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 115 = 0$

Этап 3.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.7

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 10$ и $c = - 115$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 115)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 115$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 115}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 115$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 1380}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.3

Добавим $100$ и $1380$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{1480}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $1480$ в виде $2^{2} \cdot 370$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1480$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (370)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 370}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{370}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{370}}{3}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5 + \sqrt{370}}{3}, \frac{5 - \sqrt{370}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 8.07846135 \dots, - 4.74512802 \dots$