Конечная математика Примеры

$\frac{4}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x^{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 1) (x - 1), x - 1, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

НОК $x + 1, x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$ умножим на $(x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{2 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 = 2 x (x + 1) - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$4 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.3.1.5

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 4.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 4.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.6.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.6.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 4.3.1.6.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 4.3.1.6.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 1)$

Этап 4.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 x^{2} + 2 x - x^{2} - - 1$

Этап 4.3.1.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 = 2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$4 = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 2 x + 1 = 4$ .

$x^{2} + 2 x + 1 = 4$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Этап 5.4

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 5.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\frac{4}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{2 x}{x - 1}$ истинным.

$x = - 3$