Конечная математика Примеры

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 3, x - 3, 15$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

У $15$ есть множители: $3$ и $5$ .

$3 \cdot 5$

Этап 1.5

Умножим $3$ на $5$ .

$15$

Этап 1.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (x - 3)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$15 (x + 3) (x - 3)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ умножим на $15 (x + 3) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ на $15 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} (15 (x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 \frac{x - 3}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $15$ и $\frac{x - 3}{x + 3}$ .

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$15 (x - 3) (x - 3) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.4

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$15 ({(x - 3)}^{1} (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.5

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$15 ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1}) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 {(x - 3)}^{1 + 1} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 \frac{x + 3}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.9

Объединим $15$ и $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.10

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 (x + 3) (x + 3) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.11

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.12

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{1 + 1} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.2.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 (x + 3) (x - 3)$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.3.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} - 9)$

Этап 2.3.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} + 34 \cdot - 9$

Этап 2.3.3.3.2

Умножим $34$ на $- 9$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} - 306$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $34 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$15 ((x - 3) (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$15 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$15 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$15 (x^{2} - 6 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{2} + 15 (- 6 x) + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 6$ на $15$ .

$15 x^{2} - 90 x + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $15$ на $9$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.6

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 ((x + 3) (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.7

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.8.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.8.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.8.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 6 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 15 (6 x) + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.10.1

Умножим $6$ на $15$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.2.10.2

Умножим $15$ на $9$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $- 90 x$ и $90 x$ .

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 0 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.3.2

Добавим $15 x^{2} + 135 + 15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.4

Добавим $15 x^{2}$ и $15 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 135 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Этап 3.1.5

Вычтем $34 x^{2}$ из $30 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 135 + 135 = - 306$

Этап 3.1.6

Добавим $135$ и $135$ .

$- 4 x^{2} + 270 = - 306$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $270$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} = - 306 - 270$

Этап 3.2.2

Вычтем $270$ из $- 306$ .

$- 4 x^{2} = - 576$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 576$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 576$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 576}{- 4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 576$ на $- 4$ .

$x^{2} = 144$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 12$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 12$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 12$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 12, - 12$