Конечная математика Примеры

$14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 14 \cdot - 1 = - 14$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 5$ как $2$ плюс $- 7$

$14 u^{2} + (2 - 7) u - 1 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 u^{2} + 2 u - 7 u - 1 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(14 u^{2} + 2 u) - 7 u - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (7 u + 1) - (7 u + 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 u + 1$ .

$(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $7 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $7 u + 1$ к $0$ .

$7 u + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $7 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 u = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $7 u = - 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $7 u = - 1$ на $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{7}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{7}$

Этап 5

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $- \frac{1}{7}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Этап 9.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Этап 9.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Этап 9.2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Этап 9.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 9.2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 9.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 9.2.7.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 9.2.7.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 9.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 9.2.7.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 9.2.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 9.2.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.3.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 11.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 11.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 11.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 11.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 11.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 12

Решением $14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$ является $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$