Конечная математика Примеры

$1 + \frac{x^{2} - 5 x - 24}{3 x} = \frac{x - 6}{3 x}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 5 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 5$ .

$- 8, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$1 + \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} = \frac{x - 6}{3 x}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 3 x, 3 x$

Этап 2.2

Since $1, 3 x, 3 x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 3, 3$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.6

НОК $1, 3, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.9

НОК $1, 3 x, 3 x$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x$

Этап 3

Каждый член в $1 + \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} = \frac{x - 6}{3 x}$ умножим на $3 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $1 + \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} = \frac{x - 6}{3 x}$ на $3 x$ .

$1 (3 x) + \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} (3 x) = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $3 x$ на $1$ .

$3 x + \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} (3 x) = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x + 3 \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} x = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$3 x + 3 \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 (x)} x = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$3 x + 3 \frac{(x - 8) (x + 3)}{3 x} x = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$3 x + \frac{(x - 8) (x + 3)}{x} x = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + \frac{(x - 8) (x + 3)}{x} x = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + (x - 8) (x + 3) = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(x - 8) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + x (x + 3) - 8 (x + 3) = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + x \cdot x + x \cdot 3 - 8 (x + 3) = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + x \cdot x + x \cdot 3 - 8 x - 8 \cdot 3 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x + x^{2} + x \cdot 3 - 8 x - 8 \cdot 3 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.6.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x + x^{2} + 3 \cdot x - 8 x - 8 \cdot 3 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.6.1.3

Умножим $- 8$ на $3$ .

$3 x + x^{2} + 3 x - 8 x - 24 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.1.6.2

Вычтем $8 x$ из $3 x$ .

$3 x + x^{2} - 5 x - 24 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.2.2

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{x - 6}{3 x} (3 x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 2 x - 24 = 3 \frac{x - 6}{3 x} x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = 3 \frac{x - 6}{3 (x)} x$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 2 x - 24 = 3 \frac{x - 6}{3 x} x$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{x - 6}{x} x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{x - 6}{x} x$

Этап 3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x - 24 = x - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 24 - x = - 6$

Этап 4.1.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - 24 = - 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 3 x - 24 + 6 = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 24$ и $6$ .

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$