Конечная математика Примеры

$2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\ln (x + 4) + \ln (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((x + 4) (2 x))$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x^{2}) = \ln (x (2 x) + 4 (2 x))$

Этап 2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 4 (2 x))$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 8 x)$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 8 x)$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 8 x)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} = 2 x^{2} + 8 x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 x^{2} + 8 x = x^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 8 x - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 8 x = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$ истинным.

$Нет решения$