Конечная математика Примеры

$25 x^{- 4} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \frac{1}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Этап 1.2

Объединим $25$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 \frac{1}{x^{2}} + 16 = 0$

Этап 1.4

Объединим $- 104$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} + \frac{- 104}{x^{2}} + 16 = 0$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{4}, x^{2}, 1, 1$

Этап 2.2

Since $x^{4}, x^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{4}, x^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 2.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.8

НОК $x^{4}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 2.9

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Этап 2.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Этап 2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Этап 2.9.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Этап 2.9.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1}$

Этап 2.9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ умножим на $x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ на $x^{4}$ .

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$25 - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{104}{x^{2}}$ в числитель.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $x^{4}$ .

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ , а сумма — $b = - 104$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 104$ из $- 104 u$ .

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

Этап 4.2.1.2

Запишем $- 104$ как $- 4$ плюс $- 100$

$16 u^{2} + (- 4 - 100) u + 25 = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 u^{2} - 4 u - 100 u + 25 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(16 u^{2} - 4 u) - 100 u + 25 = 0$

Этап 4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 u (4 u - 1) - 25 (4 u - 1) = 0$

Этап 4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u - 25 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 4.5

Приравняем $4 u - 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $4 u - 25$ к $0$ .

$4 u - 25 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $4 u - 25 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 25$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $4 u = 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 25$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{25}{4}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, \frac{25}{4}$

Этап 4.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Этап 4.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 4.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 4.9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.9.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 4.9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 4.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Этап 4.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Этап 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Этап 4.11.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.11.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.11.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 4.11.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.11.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Этап 4.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 4.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 4.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 4.12

Решением $16 x^{4} - 104 x^{2} + 25 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 0.5, 2.5, - 2.5$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$