Конечная математика Примеры

$- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 1.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$- 2 {(- 0.5)}^{3} + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$- 2 \cdot - 0.125 + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 0.125$ .

$0.25 + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

Этап 1.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$0.25 + 0.25 + 13 \cdot - 0.5 + 6$

Этап 1.1.3.5

Добавим $0.25$ и $0.25$ .

$0.5 + 13 \cdot - 0.5 + 6$

Этап 1.1.3.6

Умножим $13$ на $- 0.5$ .

$0.5 - 6.5 + 6$

Этап 1.1.3.7

Вычтем $6.5$ из $0.5$ .

$- 6 + 6$

Этап 1.1.3.8

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6}{2 x + 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$13 x$

$6$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				-	$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x + 6$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	-	$6$
										$0$

Этап 1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + x + 6$

Этап 1.1.6

Запишем $- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (- x^{2} + x + 6) = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$(2 x + 1) (- x^{2} + 1 x + 6) = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$(2 x + 1) (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6) = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 1) (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6) = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x + 1) ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x + 1) (x (- x - 2) - 3 (- x - 2)) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$(2 x + 1) ((- x - 2) (x - 3)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (- x - 2) (x - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$- x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Приравняем $- x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $- x - 2$ к $0$ .

$- x - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $- x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- x = 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (- x - 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, - 2, 3$