Конечная математика Примеры

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log_{4} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Этап 3

Перепишем $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Этап 5

Упростим $4 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Этап 6

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = - 4$

Этап 8

Упростим $x (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Этап 8.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Этап 8.2.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Этап 9

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 10.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 10.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$