Конечная математика Примеры

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Этап 1

Перепишем

$e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Этап 2

Подставим

$u$ вместо

$e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Этап 3

Решим относительно

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2

Подставим значения

$a = 2$ ,

$b = - 5$ и

$c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем

$- 5$ в степень

$2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим

$- 8$ на

$4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3

Вычтем

$32$ из

$25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем

$- 7$ в виде

$- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (7)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Этап 3.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Этап 4

Подставим

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ вместо

$u$ в

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Этап 5

Решим

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем

$\ln (e^{x})$ , вынося

$x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм

$e$ равен

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3.3

Умножим

$x$ на

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ в виде

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Этап 5.4.2

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{7}$ в виде

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 5.4.3

Перепишем

$\ln (4)$ в виде

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 5.4.4

Развернем

$\ln (2^{2})$ , вынося

$2$ из логарифма.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Этап 5.4.5

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Упростим

$- 2 \ln (2)$ путем переноса

$2$ под логарифм.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 5.5.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 5.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Этап 6

Подставим

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ вместо

$u$ в

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Этап 7

Решим

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем

$\ln (e^{x})$ , вынося

$x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм

$e$ равен

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3.3

Умножим

$x$ на

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ в виде

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Этап 7.4.2

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{7}$ в виде

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 7.4.3

Перепишем

$\ln (4)$ в виде

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 7.4.4

Развернем

$\ln (2^{2})$ , вынося

$2$ из логарифма.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Этап 7.4.5

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Упростим

$- 2 \ln (2)$ путем переноса

$2$ под логарифм.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 7.5.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 7.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$