Конечная математика Примеры

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 5$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3

Вычтем $32$ из $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Этап 3.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Этап 4

Подставим $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Этап 5

Решим $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Этап 5.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ в виде $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Этап 5.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 5.4.3

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 5.4.4

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Этап 5.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Упростим $- 2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 5.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 5.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Этап 6

Подставим $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Этап 7

Решим $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Этап 7.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ в виде $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Этап 7.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 7.4.3

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 7.4.4

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Этап 7.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Упростим $- 2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Этап 7.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Этап 7.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$