Введите задачу...
Конечная математика Примеры
2e2x-5ex+4=0
Этап 1
Перепишем e2x в виде степенного выражения.
2(ex)2-5ex+4=0
Этап 2
Подставим u вместо ex.
2u2-5u+4=0
Этап 3
Этап 3.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
-b±√b2-4(ac)2a
Этап 3.2
Подставим значения a=2, b=-5 и c=4 в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно u.
5±√(-5)2-4⋅(2⋅4)2⋅2
Этап 3.3
Упростим.
Этап 3.3.1
Упростим числитель.
Этап 3.3.1.1
Возведем -5 в степень 2.
u=5±√25-4⋅2⋅42⋅2
Этап 3.3.1.2
Умножим -4⋅2⋅4.
Этап 3.3.1.2.1
Умножим -4 на 2.
u=5±√25-8⋅42⋅2
Этап 3.3.1.2.2
Умножим -8 на 4.
u=5±√25-322⋅2
u=5±√25-322⋅2
Этап 3.3.1.3
Вычтем 32 из 25.
u=5±√-72⋅2
Этап 3.3.1.4
Перепишем -7 в виде -1(7).
u=5±√-1⋅72⋅2
Этап 3.3.1.5
Перепишем √-1(7) в виде √-1⋅√7.
u=5±√-1⋅√72⋅2
Этап 3.3.1.6
Перепишем √-1 в виде i.
u=5±i√72⋅2
u=5±i√72⋅2
Этап 3.3.2
Умножим 2 на 2.
u=5±i√74
u=5±i√74
Этап 3.4
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
u=5+i√74,5-i√74
u=5+i√74,5-i√74
Этап 4
Подставим 5+i√74 вместо u в u=ex.
5+i√74=ex
Этап 5
Этап 5.1
Перепишем уравнение в виде ex=5+i√74.
ex=5+i√74
Этап 5.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(ex)=ln(5+i√74)
Этап 5.3
Развернем левую часть.
Этап 5.3.1
Развернем ln(ex), вынося x из логарифма.
xln(e)=ln(5+i√74)
Этап 5.3.2
Натуральный логарифм e равен 1.
x⋅1=ln(5+i√74)
Этап 5.3.3
Умножим x на 1.
x=ln(5+i√74)
x=ln(5+i√74)
Этап 5.4
Развернем правую часть.
Этап 5.4.1
Перепишем ln(5+i√74) в виде ln(5+i√7)-ln(4).
x=ln(5+i√7)-ln(4)
Этап 5.4.2
С помощью n√ax=axn запишем √7 в виде 712.
x=ln(5+i⋅712)-ln(4)
Этап 5.4.3
Перепишем ln(4) в виде ln(22).
x=ln(5+i⋅712)-ln(22)
Этап 5.4.4
Развернем ln(22), вынося 2 из логарифма.
x=ln(5+i⋅712)-(2ln(2))
Этап 5.4.5
Умножим 2 на -1.
x=ln(5+i⋅712)-2ln(2)
x=ln(5+i⋅712)-2ln(2)
Этап 5.5
Упростим.
Этап 5.5.1
Упростим каждый член.
Этап 5.5.1.1
Упростим -2ln(2) путем переноса 2 под логарифм.
x=ln(5+i⋅712)-ln(22)
Этап 5.5.1.2
Возведем 2 в степень 2.
x=ln(5+i⋅712)-ln(4)
x=ln(5+i⋅712)-ln(4)
Этап 5.5.2
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: logb(x)-logb(y)=logb(xy).
x=ln(5+i⋅7124)
x=ln(5+i⋅7124)
x=ln(5+i⋅7124)
Этап 6
Подставим 5-i√74 вместо u в u=ex.
5-i√74=ex
Этап 7
Этап 7.1
Перепишем уравнение в виде ex=5-i√74.
ex=5-i√74
Этап 7.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(ex)=ln(5-i√74)
Этап 7.3
Развернем левую часть.
Этап 7.3.1
Развернем ln(ex), вынося x из логарифма.
xln(e)=ln(5-i√74)
Этап 7.3.2
Натуральный логарифм e равен 1.
x⋅1=ln(5-i√74)
Этап 7.3.3
Умножим x на 1.
x=ln(5-i√74)
x=ln(5-i√74)
Этап 7.4
Развернем правую часть.
Этап 7.4.1
Перепишем ln(5-i√74) в виде ln(5-i√7)-ln(4).
x=ln(5-i√7)-ln(4)
Этап 7.4.2
С помощью n√ax=axn запишем √7 в виде 712.
x=ln(5-i⋅712)-ln(4)
Этап 7.4.3
Перепишем ln(4) в виде ln(22).
x=ln(5-i⋅712)-ln(22)
Этап 7.4.4
Развернем ln(22), вынося 2 из логарифма.
x=ln(5-i⋅712)-(2ln(2))
Этап 7.4.5
Умножим 2 на -1.
x=ln(5-i⋅712)-2ln(2)
x=ln(5-i⋅712)-2ln(2)
Этап 7.5
Упростим.
Этап 7.5.1
Упростим каждый член.
Этап 7.5.1.1
Упростим -2ln(2) путем переноса 2 под логарифм.
x=ln(5-i⋅712)-ln(22)
Этап 7.5.1.2
Возведем 2 в степень 2.
x=ln(5-i⋅712)-ln(4)
x=ln(5-i⋅712)-ln(4)
Этап 7.5.2
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: logb(x)-logb(y)=logb(xy).
x=ln(5-i⋅7124)
x=ln(5-i⋅7124)
x=ln(5-i⋅7124)
Этап 8
Перечислим решения, делающие уравнение истинным.
x=ln(5+i⋅7124),ln(5-i⋅7124)