Конечная математика Примеры

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 8$

Этап 1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} - 8 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 2 y$ и $c = 5 y^{2} - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2

Пусть $u = 4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ . Подставим $u$ вместо $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 \cdot (5 y^{2} - 8)))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 (5 y^{2}) + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.1.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} - 32))}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2}) + 32)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.1.5

Умножим $20$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 32$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $20 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{y + \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$