Конечная математика Примеры

$5 - \frac{4}{k} - \frac{1}{k^{2}} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, k, k^{2}, 1$

Этап 1.2

Since $1, k, k^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $k^{1}, k^{2}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $k^{1}$ является само значение $k$ .

$k^{1} = k$

$k$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множители $k^{2}$ — $k \cdot k$ , то есть $k$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$k^{2} = k \cdot k$

$k$ встречается $2$ раз.

Этап 1.8

НОК $k^{1}, k^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$k \cdot k$

Этап 1.9

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2}$

Этап 2

Каждый член в $5 - \frac{4}{k} - \frac{1}{k^{2}} = 0$ умножим на $k^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $5 - \frac{4}{k} - \frac{1}{k^{2}} = 0$ на $k^{2}$ .

$5 k^{2} - \frac{4}{k} k^{2} - \frac{1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{k}$ в числитель.

$5 k^{2} + \frac{- 4}{k} k^{2} - \frac{1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Вынесем множитель $k$ из $k^{2}$ .

$5 k^{2} + \frac{- 4}{k} (k \cdot k) - \frac{1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$5 k^{2} + \frac{- 4}{k} (k \cdot k) - \frac{1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$5 k^{2} - 4 k - \frac{1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{k^{2}}$ в числитель.

$5 k^{2} - 4 k + \frac{- 1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$5 k^{2} - 4 k + \frac{- 1}{k^{2}} k^{2} = 0 k^{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$5 k^{2} - 4 k - 1 = 0 k^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $k^{2}$ .

$5 k^{2} - 4 k - 1 = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 k$ .

$5 k^{2} - 4 k - 1 = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $- 4$ как $1$ плюс $- 5$

$5 k^{2} + (1 - 5) k - 1 = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 k^{2} + 1 k - 5 k - 1 = 0$

Этап 3.1.1.4

Умножим $k$ на $1$ .

$5 k^{2} + k - 5 k - 1 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 k^{2} + k) - 5 k - 1 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$k (5 k + 1) - (5 k + 1) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 k + 1$ .

$(5 k + 1) (k - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 k + 1 = 0$

$k - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $5 k + 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $5 k + 1$ к $0$ .

$5 k + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $5 k + 1 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 k = - 1$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $5 k = - 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 k = - 1$ на $5$ .

$\frac{5 k}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 k}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- 1}{5}$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k = - \frac{1}{5}$

Этап 3.4

Приравняем $k - 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $k - 1$ к $0$ .

$k - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$k = 1$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 k + 1) (k - 1) = 0$ верно.

$k = - \frac{1}{5}, 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = - \frac{1}{5}, 1$

Десятичная форма:

$k = - 0.2, 1$