Конечная математика Примеры

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

Этап 1

Поскольку $c$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2

Упростим $- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $- 35$ .

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.3

Умножим $- 35$ на $- 7$ .

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.6

Умножим $- 7$ на $- 58$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Перенесем $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.7.1.2

Умножим $c$ на $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.1.7.2

Умножим $- 58$ на $2$ .

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 2.2

Добавим $- 70 c$ и $406 c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Этап 3

Упростим $24 c^{2} (2 c - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

Этап 3.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 7$ на $24$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $c^{2}$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $c$ на $c^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Возведем $c$ в степень $1$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

Этап 3.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

Этап 3.2.2

Умножим $24$ на $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

Этап 4

Перенесем все члены с $c$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $48 c^{3}$ из обеих частей уравнения.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

Этап 4.2

Добавим $168 c^{2}$ к обеим частям уравнения.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 116 c^{2}$ и $168 c^{2}$ .

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

Этап 5.2

Разложим $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Этап 5.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

Этап 5.2.3

Подставим $- 1.25$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1.25$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Подставим $- 1.25$ в многочлен.

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.2

Возведем $- 1.25$ в степень $3$ .

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 48$ на $- 1.953125$ .

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.4

Возведем $- 1.25$ в степень $2$ .

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.5

Умножим $52$ на $1.5625$ .

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.6

Добавим $93.75$ и $81.25$ .

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Этап 5.2.3.7

Умножим $336$ на $- 1.25$ .

$175 - 420 + 245$

Этап 5.2.3.8

Вычтем $420$ из $175$ .

$- 245 + 245$

Этап 5.2.3.9

Добавим $- 245$ и $245$ .

$0$

Этап 5.2.4

Поскольку $- 1.25$ — известный корень, разделим многочлен на $4 c + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

Этап 5.2.5

Разделим $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ на $4 c + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

Этап 5.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 48 c^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 c$ .

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

Этап 5.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

Этап 5.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$ .

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

Этап 5.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

Этап 5.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Этап 5.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $112 c^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Этап 5.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

Этап 5.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $112 c^{2} + 140 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

Этап 5.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

Этап 5.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Этап 5.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $196 c$ на член с максимальной степенью в делителе $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Этап 5.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

Этап 5.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $196 c + 245$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

Этап 5.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

Этап 5.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

Этап 5.2.6

Запишем $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ в виде набора множителей.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

Этап 5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ , а сумма — $b = 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Вынесем множитель $28$ из $28 c$ .

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

Этап 5.3.1.1.2

Запишем $28$ как $- 14$ плюс $42$

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

Этап 5.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

Этап 5.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

Этап 5.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

Этап 5.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 6 c - 7$ .

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

Этап 5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

Этап 7

Приравняем $4 c + 5$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $4 c + 5$ к $0$ .

$4 c + 5 = 0$

Этап 7.2

Решим $4 c + 5 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 c = - 5$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $4 c = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $4 c = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{- 5}{4}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$c = - \frac{5}{4}$

Этап 8

Приравняем $- 6 c - 7$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $- 6 c - 7$ к $0$ .

$- 6 c - 7 = 0$

Этап 8.2

Решим $- 6 c - 7 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$- 6 c = 7$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $- 6 c = 7$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $- 6 c = 7$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{7}{- 6}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$c = - \frac{7}{6}$

Этап 9

Приравняем $2 c - 7$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $2 c - 7$ к $0$ .

$2 c - 7 = 0$

Этап 9.2

Решим $2 c - 7 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 c = 7$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $2 c = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $2 c = 7$ на $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{7}{2}$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ верно.

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Десятичная форма:

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

Форма смешанных чисел:

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$