Конечная математика Примеры

${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Этап 1

Упростим ${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{5^{2}} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Этап 1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Этап 1.1.3

Объединим $2$ и $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} = 8$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} \cdot \frac{5}{5} = 8$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{5 \cdot 5} = 8$

Этап 1.3.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2 c - 3$ из ${(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2 c - 3$ из ${(2 c - 3)}^{2}$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $2 c - 3$ из $2 (2 c - 3) \cdot 5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)}{25} = 8$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $2 c - 3$ из $(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 2 \cdot 5)}{25} = 8$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 10)}{25} = 8$

Этап 1.5.3

Добавим $- 3$ и $10$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} = 8$

Этап 2

Умножим обе части на $25$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(2 c - 3) (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.2

Развернем $(2 c - 3) (2 c + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c (2 c + 7) - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.2

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.2.1

Перенесем $c$ .

$2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.2.2

Умножим $c$ на $c$ .

$2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.4

Умножим $7$ на $2$ .

$4 c^{2} + 14 c - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $7$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 21 = 8 \cdot 25$

Этап 3.1.1.3.2

Вычтем $6 c$ из $14 c$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 8 \cdot 25$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $8$ на $25$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 200$

Этап 4

Решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $200$ из обеих частей уравнения.

$4 c^{2} + 8 c - 21 - 200 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $200$ из $- 21$ .

$4 c^{2} + 8 c - 221 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 221 = - 884$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 c$ .

$4 c^{2} + 8 (c) - 221 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $8$ как $- 26$ плюс $34$

$4 c^{2} + (- 26 + 34) c - 221 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 c^{2} - 26 c + 34 c - 221 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 c^{2} - 26 c) + 34 c - 221 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 c (2 c - 13) + 17 (2 c - 13) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 c - 13$ .

$(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 c - 13 = 0$

$2 c + 17 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 c - 13$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 c - 13$ к $0$ .

$2 c - 13 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 c - 13 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$2 c = 13$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 c = 13$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 c = 13$ на $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{13}{2}$

Этап 4.6

Приравняем $2 c + 17$ к $0$ , затем решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $2 c + 17$ к $0$ .

$2 c + 17 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $2 c + 17 = 0$ относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $17$ из обеих частей уравнения.

$2 c = - 17$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $2 c = - 17$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 c = - 17$ на $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{- 17}{2}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$c = - \frac{17}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$ верно.

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Десятичная форма:

$c = 6.5, - 8.5$

Форма смешанных чисел:

$c = 6 \frac{1}{2}, - 8 \frac{1}{2}$