Конечная математика Примеры

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Этап 3

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{27}{64}$ из обеих частей уравнения.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{27}{64}$ в виде ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = b$ и $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Объединим $b$ и $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.3

Умножим $3$ на $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.4

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Этап 3.2.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Этап 3.2.3.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $b - \frac{3}{4}$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $b - \frac{3}{4}$ к $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $\frac{3}{4}$ к обеим частям уравнения.

$b = \frac{3}{4}$

Этап 3.5

Приравняем $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ к $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Этап 3.5.2

Решим $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $16$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.3

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Этап 3.5.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Этап 3.5.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.3

Подставим значения $a = 16$ , $b = 12$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 64$ на $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 3.5.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 3.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 3.5.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ верно.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$